Boas, espero ajudar com a minha opinião,
A quente sendo o motor multiject, e sem ainda ter feito um diagnóstico..Existe mesmo várias possibilidades.
Um sensor da rotação do motor e da arvore de cames tem por vezes porblemas no arranque com o aquecimento, dando uma informação errada ao motor, e por fim custa a pegar.
Tendo a ver com o sistema de combustível também pode ser a bomba que com o aquecimento não gera pressão suficiente, um teste básico, que não resolve o problema é meter um pouco de oleo no gasoleo, se o problema for disso melhora um pouco ..
Tem que também ponderar se o motor de arranque ao fim de o aquecimento do motor tem a mesma capacidade de resposta.Muitos motores pegam mal em quente derivado a rotação do motor de arranque.
Espero ajudar, sem confundir a encontrar o problema.